Los números Naturales

El propósito de este tema es que conozcas y desarrolles las habilidades que te permitan operar correctamente con los números naturales y adquieras las bases para entender que los conjuntos numéricos fueron creciendo por las necesidades cada vez mayores de una sociedad en evolución.

"Dios creó a los números naturales, lo demás es invención del hombre"

Estas palabras han causado polémica respecto a qué persona las pronunció. Algunos autores señalan que fueron dichas por el matemático alemán Leopold Kronecker (1823-1891), y otros afirman que son del matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932) . Sean de uno o de otro, son muy significativas, y nos hacen pensar en la respuesta a la pregunta.
                                                
¿Cuáles números consideras que aparecieron primero, según las necesidades que tuvo el hombre de contar? La respuesta es: aquéllos que surgen de forma evidente en la naturaleza, por eso se llaman naturales.

Hasta este momento hemos mencionado números, pero sin hacer clasificación alguna de ellos. Empezaremos por los números naturales. Ya antes señalábamos que son los que surgen de manera evidente en la naturaleza porque son los que sirven para contar.

Entonces, ¿que números formarán el conjunto de los naturales? Más fácil, ¿cuál será el primer número natural que apareció sobre la Tierra?
 
Antes de contestar esta pregunta es importante tener claro que las Matemáticas son como un juego: para poder trabajar con ellas, de la misma manera que en cualquier juego, necesitamos conocer las reglas, para saber qué se puede o no hacer, y así jugar bien.

Diderot afirmaba que "se podía establecer una semejanza entre el matemático y un jugador, ya que, en el fondo, ambos jugaban según unas reglas, las reglas abstractas que ellos mismos habían creado".

Adición de números naturales

Si nos ponemos a pensar qué hacemos cuando queremos saber cuántos dulces hay en dos bolsitas, hacemos algo que parece complejo, aunque sabemos que sumar es muy sencillo. Esta operación consiste en contar los números de la misma naturaleza, y recopilar el resultado correspondiente en una sola expresión llamada suma. Los elementos de la misma naturaleza que se agrupan se llaman sumandos, y el resultado se llama suma, ejemplo:

Propiedad de cerradura para la adición

Debes tener presente que el conjunto de números naturales es un conjunto cerrado para la operación de adición, porque si a un número natural le sumamos otro número natural el resultado también es un número natural. Entonces, si el conjunto de números naturales cumple con la propiedad de cerradura para la adición, significa que son suficientes los elementos que forman este conjunto para realizar cualquier operación de adición, y en consecuencia es posible dar el resultado con un elemento del mismo conjunto, o sea, con otro número que también sea natural.

Para que esta propiedad quede más clara, imagínate que tenemos un conjunto formado solamente por dos elementos, el número 1 y el número 2, te preguntamos: ¿este conjunto cumple con la propiedad de cerradura para la adición?, es decir, si quiero sumar estos dos números, 1+2 = 3 ¿el resultado lo puedo dar con un elemento del mismo conjunto? La respuesta es no, porque el resultado de esta suma es 3, y 3 no forma parte de este conjunto. En conclusión, este conjunto que sólo tiene dos elementos (el 1 y el 2), no es un conjunto cerrado para la operación de adición.
 
Como el conjunto de los números naturales sí es un conjunto cerrado para la adición, me permite afirmar que, si tengo un natural y le sumo otro de la misma naturaleza, el resultado dará también un número natural.

Retomando la pregunta ¿qué números forman el conjunto de los naturales? Respondemos: sólo sabemos que el 1 es natural, aunque gracias a la propiedad de cerradura para la operación de adición podemos obtener el resto de los naturales de la manera siguiente. El uno es natural, si lo sumamos a sí mismo obtenemos el 2, por la propiedad de cerradura, el 2 es natural y repetimos este procedimiento como sigue:

Fíjate, “n” representa cualquier número. Podría ser 138, 722, 914, 5 678, 89 437, o cualquier otro natural que quieras, ya que ésta es una manera matemática de decir que los números naturales siguen, siguen y siguen hasta el infinito.

Concluimos, entonces, que el conjunto de números naturales está formado así:

Naturales: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,..., n, n+1, n+2…, hasta el infinito.
Por lo tanto, todos los números enteros y positivos que existen se llaman naturales.

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